ՀՍՀ/ԱՆԱԼԻՏԻԿ ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՆԱԼԻՏԻԿ ՖՈՒՆԿՑԻԱ Ժ. Լ. Լագրանժն անվանել է այն $f(z)$ ֆունկցիաները, որոնք ներկայացնելի են $f(z)=a_{0}+a_{1}(z-z_{0})+a_{2}(z-z_{0})^{2}+\dots$ (1) զուգամետ աստիճանային շարքի տեսքով, ուր $z_{0}$-ն մի որոշակի սևեռյալ արժեք Է։ Ն. Աբելն ապացուցել Է, որ եթե այդ շարքը զուգամետ Է $z_{0}$-ից տարբեր $z=z_{1}$ արժեքի համար, ապա այն զուգամետ է նաև յուրաքանչյուր կոմպլեքս $z=x+iy$ արժեքի համար, եթե $|z-z_{0}|<|z_{1}-z_{0}|$։ (1) շարքը զուգամետ է կամ միայն $z=z_{0}$ կետում, կամ էլ $z_{0}$

կենտրոնով շրջանում։ Այս երկրորդ դեպքում ասում են, որ $f(z)$ ֆունկցիան անալիտիկ է $z_{0}$ կետում։ Անջատելով (1) շարքի իրական և կեղծ մասերը՝ կստանանք.

$w=f(z)=\varphi (x,y)+i\psi (x,y)$,

ուր $\varphi$-ն և $\psi$-ն բացահայտ կգրվեն $a_{0},\;a_{1},\;a_{2},\dots$ գործակիցների և $x,\;y,\;z_{0}$ թվերի միջոցով։ $\varphi$ և $\psi$ ֆունկցիաները բավարարում են Կոշու և Ռիմանի

${\frac {\partial \varphi }{\partial x}}=\left|{\frac {\partial \psi }{\partial y}}\right|,\quad {\frac {\partial \psi }{\partial x}}=-\left|{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right|\quad \quad (2)$

հավասարումներին։ Ճիշտ է նաև հակադարձը. եթե $\varphi$ և $\psi$ ֆունկցիաները բավարարում են (2) պայմաններին և գրված ածանցյալներն անընդհատ են, ապա $f(z)=\varphi (x,y)+i\psi (x,y)$ ֆունկցիան կլինի Ա. ֆ. այն տիրույթում, ուր բավարարվում են (2) պայմանները։ Երբ $f(z)$ Ա. ֆ. իրական է արգումենտի իրական արժեքի համար, այն կոչվում է իրական Ա. ֆ.: Ա. ֆ . դասին են պատկանում տարրական ֆունկցիաների մեծամասնությունը (օր. $e^{z},\;sinz,\;z^{n}$), ինչպես նաև շատ ո՛չ տարրական ֆունկցիաներ։

Գրկ. Շահինյան Ա. Լ., Անալիտիկ ֆունկցիաների տեսություն, [հ.] 1, Ե., 1969։ Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 1, 2 изд. М., 1967. Ա. Շահինյան