ՀՍՀ/ԱՆԱԼԻՏԻԿ ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՆԱԼԻՏԻԿ ՖՈՒՆԿՑԻԱ | Հայկական Սովետական Հանրագիտարան • Հատոր 1 (տեսածրված) • 1975

ԱՆԱԼԻՏԻԿ ՖՈՒՆԿՑԻԱ Ժ. Լ. Լագրանժն անվանել է այն $f (z)$ ֆունկցիաները, որոնք ներկայացնելի են $f (z) = a_{0} + a_{1} (z - z_{0}) + a_{2} (z - z_{0})^{2} + \dots$ (1) զուգամետ աստիճանային շարքի տեսքով, ուր $z_{0}$ -ն մի որոշակի սևեռյալ արժեք Է։ Ն. Աբելն ապացուցել Է, որ եթե այդ շարքը զուգամետ Է $z_{0}$ -ից տարբեր $z = z_{1}$ արժեքի համար, ապա այն զուգամետ է նաև յուրաքանչյուր կոմպլեքս $z = x + i y$ արժեքի համար, եթե $| z - z_{0} | < | z_{1} - z_{0} |$ ։ (1) շարքը զուգամետ է կամ միայն $z = z_{0}$ կետում, կամ էլ $z_{0}$

կենտրոնով շրջանում։ Այս երկրորդ դեպքում ասում են, որ $f (z)$ ֆունկցիան անալիտիկ է $z_{0}$ կետում։ Անջատելով (1) շարքի իրական և կեղծ մասերը՝ կստանանք.

$w = f (z) = φ (x, y) + i ψ (x, y)$ ,

ուր $φ$ -ն և $ψ$ -ն բացահայտ կգրվեն $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots$ գործակիցների և $x, y, z_{0}$ թվերի միջոցով։ $φ$ և $ψ$ ֆունկցիաները բավարարում են Կոշու և Ռիմանի

$\frac{\partial φ}{\partial x} = | \frac{\partial ψ}{\partial y} |, \frac{\partial ψ}{\partial x} = - | \frac{\partial φ}{\partial y} | (2)$

հավասարումներին։ Ճիշտ է նաև հակադարձը. եթե $φ$ և $ψ$ ֆունկցիաները բավարարում են (2) պայմաններին և գրված ածանցյալներն անընդհատ են, ապա $f (z) = φ (x, y) + i ψ (x, y)$ ֆունկցիան կլինի Ա. ֆ. այն տիրույթում, ուր բավարարվում են (2) պայմանները։ Երբ $f (z)$ Ա. ֆ. իրական է արգումենտի իրական արժեքի համար, այն կոչվում է իրական Ա. ֆ.: Ա. ֆ . դասին են պատկանում տարրական ֆունկցիաների մեծամասնությունը (օր. $e^{z}, s i n z, z^{n}$ ), ինչպես նաև շատ ո՛չ տարրական ֆունկցիաներ։

Գրկ. Շահինյան Ա. Լ., Անալիտիկ ֆունկցիաների տեսություն, [հ.] 1, Ե., 1969։ Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 1, 2 изд. М., 1967. Ա. Շահինյան