ՀՍՀ/ԱՍՏԻՃԱՆԱՅԻՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ԱՍՏԻՃԱՆԱՅԻՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱ, $y=x^{a}$ տեսքի ֆունկցիա, որտեղ $a$ հաստատուն թիվ է (տես Աստիճան)։

$y=x$–ի և $y=a$-ի իրական արժեքների համար սովորաբար դիտարկվում են Ա. ֆ–ի միայն իրական արժեքները։ Կենտ հայտարարով ռացիոնալ $a$-երի համար Ա. ֆ–ի նման արժեքներ գոյություն ունեն 0-ից տարբեր բոլոր իրական $x$–երի, իռացիոնալ կամ զույգ հայտարարով ռացիոնալ $a$-երի համար՝ միայն իրական դրական $x$-երի դեպքում։ Երբ $x=0$, ապա Ա. ֆ–ի արժեքը 0 է $a>0$ և գոյություն չունի՝ $a<0$ դեպքերում։ Իրական տիրույթում Ա. ֆ. միարժեք է, բացառությամբ զույգ հայտարարով ռացիոնալ $a$-երի դեպքի, երբ արգումենտի միևնույն $x>0$ արժեքին համապատասխանում են Ա. ֆ–ի իրար հակադիր երկու իրական արժեքներ (վերջին դեաքում սովորաբար դիտարկվում է Ա. ֆ–ի միայն ոչ բացասական կամ թվաբանական արժեքը)։ Ա. ֆ. անընդհատ է իր գոյության տիրույթում և դիֆերենցելի է տիրույթի բոլոր կետերում, բացառությամբ $x=0$ կետի, երբ $0<a<1$։

Կոմպլեքս տիրույթում բոլոր կոմպլեքս $z$–երի և իրական $y=a$-երի համար $z^{a}$ Ա. ֆ. սահմանվում է

$z^{a}=e^{alnz}=e^{a(ln|z|+iargz+2\pi ki)}\quad \quad (1)$

բանաձևով, որտեղ $k=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ Եթե $y=a$-ն ամբողջ է, ապա Ա. ֆ. միարժեք է. $z^{a}=|z|^{a}e^{iaargz}$, երբ $y=a$-ն ռացիոնալ է և ներկայացված է $p/q$ անկրճատելի կոտորակի տեսքով՝ այն ընդունում է իրարից տարբեր $q$ արժեքներ. $(z^{a})_{k}=|z|^{a}e^{iaargz}\cdot \varepsilon _{k}$, որտեղ $\varepsilon _{k}=e^{2\pi ki/q}$ միավորից $q$ աստիճանի արմատներն են ($k=0,\;1,\;2,\;\dots$): Իռացիոնալ $a$-երի համար $z^{a}$–ն ընդունում է անվերջ թվով արժեքներ․ այդ դեպքում (1) ներկայացման մեջ $e^{a2\pi ki)}$ արտադրիչի արժեքներն իրարից տարբեր են բոլոր $k$–երի համար։

Կոմպլեքս $z$–երի և կոմպլեքս $a$-երի համար ևս $z^{a}$ Ա. ֆ. սահմանվում է (1) բանաձևով։ Հ. Քոչարյան