Функция (мат.). — В ст. Дифференциальное исчисление уже объяснено, что такое Ф. и какие Ф. называются явными и неявными, однозначными и многозначными. В ст. Трансцендентные функции дано определение этих Ф. и указано их отличие от алгебраических Ф. К сказанному следует еще прибавить несколько замечаний. Предположим, что y есть Ф. от независимой переменной x. Может случиться, что эта Ф. определена не для всех значений x, а только для некоторых. Например, Ф.
y = 1∙2∙3∙…(x — 1)∙x
определена только для целых положительных значений x. При
x = 1, 2, 3, 4…
y = 1, 1∙2, 1∙2∙3, 1∙2∙3∙4,…
Функция
y = 1 + x + x2 + x3 +…
определена для вещественных или комплексных значений x, модули которых меньше единицы. Ф. вида
y = p0xn + p1xn—1 + p2xn—2 +…+ pn—1x + pn,
где коэффициенты p0, p1, p2,…, pn данные числа, называется целой функцией n-ой степени. Она определена при всяком вещественном или комплексном x. Частное двух целых Ф. называется дробной функцией. Она определена для всех значений x, при которых знаменатель не обращается в нуль. Целые или дробные Ф. называются рациональными. Очень часто это название придают только дробным Ф. Если в выражении uv буква v есть Ф. от x, а u величина постоянная, то uv есть показательная Ф. Если же v — постоянная, а u Ф. от x, то uv — степенная Ф. Может случиться, что u и v одновременно Ф. от x. В таком случае uv называется степенно-показательной Ф. Определение этих Ф. вполне ясно из ст. Степень. Если в выражении y = ax, где a данное число, примем y за независимую переменную, то x называется логарифмической Ф. от y (см.). В тригонометрии встречаются Ф. тригонометрические и круговые (см.). Из других Ф. особого внимания заслуживают: шаровые (см.), цилиндрические (Бесселевы, см.), эллиптические (см.) и ультраэллиптические (см.).