կերածում) և կամ համատեղելի այլ մեծություններ։ Ալիքային ֆունկցիայի իմպուլսային պատկերացման դեպքում կունենանք f᷍Ψf(p᷍x, p᷍y, p᷍z), և (1)-ում օպերատորը կլինի՝ f᷍=f᷍(x᷍, y᷍, z᷍, px, py, pz), որտեղ x᷍=i∂ℏ/∂px y᷍=i∂ℏ/∂py z᷍=i∂ℏ/∂pz, իսկ մյուս պատկերացումների դեպքում օպերատորները դառնում են մատրիցներ։ Քանի որ f᷍-ը ածանցման գործողություն է, ապա (1)-ը դիֆերենցիալ հավասարում է, որն իրար է շաղկապում f-ը, Ψf-ը և f մեծությունը։ Ֆիզիկ. իմաստ ունեն այդ հավասարման միայն այն լուծումները, որոնց համար Ψ-ն միարժեք, անընդհատ և վերջավոր է (ավելի ճիշտ՝ վերջավոր է |Ψ|2dv-ն): Այդ պահանջները կոչվում են ստանդարտ պայմաններ։ Դրանց բավարարող լուծումներ ստացվում են միայն f-ի որոշակի արժեքների դեպքում, որոնք և դիտվում են իրականում։ Նայած համակարգի բնույթին՝ f-ի հնարավոր արժեքները (սպեկտրը) կարող են լինել անընդհատ, ընդհատուն և կամ մի մասում ընդհատուն, իսկ մյուսում՝ անընդհատ։ Ստորև բերվում են մի քանի կարևոր օրինակներ։ Մասնիկի ազատ շարժման դեպքում իմպուլսը որոշակի է։ Նրա արժեքները և համապատասխան ալիքային ֆունկցիան, համաձայն (1) ընդհանուր օրենքի, որոշվում են P᷍ψp(x, Y, z) = Pψp(x, Y, z) հավասարումով, որտեղ P᷍=-iℏν: Ստանդարտ պայմաններն այստեղ բավարարվում են ինքնաբերաբար, իմպուլսի բաղադրիչների սպեկտրն անընդհատ է՝ -∞ < pk < ∞, իսկ ալիքային ֆունկցիայի համար ստացվում է ψp(x, Y, z) = 2πℏ-3/2exp(-i/ℏpr) արդյունքը, որտեղ էքսպոնենտի գործակիցը որոշված է ալիքային ֆունկցիայի նորմավորման պայմանից։ Սա հենց մասնիկի շարժման հետ զուգորդված այն ալիքն է, որը կանխագուշակել էր դը Բրոյլը (t-ից կախումը չի գրված): Այսպիսով, մասնիկն իր Էությամբ մնում է այդպիսին, իսկ նրա ալիքային հատկությունները կրում է շարժման վիճակը նկարագրող ψ ֆունկցիան։ Մեծությունները համատեղելի են, եթե դրանց համապատասխանող օպերատորները կոմուտատիվ են` a᷍b᷍=b᷍a᷍ և, ընդհակառակը։ Միկրոաշխարհում Լ շարժման քանակի մոմենտի Lx, Ly, Lz բաղադրիչները անհամատեղելի մեծություններ են։ L2-ու հետ միաժամանակ որոշակի արժեք կարող է ունենալ միայն բաղադրիչներից մեկը՝ ասենք Lz-ը։ Ուրեմն (1)-ը մոմենտի համար կգրվի հետևյալ տեսքով.Լ᷍2Y=L2Y, L᷍zY=LzY, (2)որտեղ Y-ը ալիքային ֆունկցիան է (նրա Lz ինդեքսները չեն գրված), այն կախված է մոմենտի դիրքը որոշալ θ բևեռային ու φ ազիմուտային անկյուններից՝ Y(θ,φ), իսկ (cosφ∂/∂θ - ctgθ∂/∂φ sinφ∂/∂φ)-ը, L᷍z = -iℏ∂/∂φ-ը համապատասխան մեծությունների օպերատորներն են։ Ստանդարտ պայմաններին բավարարող լուծումներ ստացվում են Լ2=ℏ2l(l+1) և Lz = ℏm դեպքում, որտեղ l = 0,1,2,3,…, իսկ m = 0,±l,±2,…,±l. l-ը կոչվում է ուղեծրային, իսկ m-ը՝ մագնիսական քվանտային թիվ։ Ք. մ-ի կարևորագույն խնդիրը համակարգի այնպիսի վիճակների որոշումն է, որոնցում էներգիան ունի որոշակի արժեք (ստացիոնար վիճակներ).H᷍ψ(q)=Eψ(q) (3)H᷍-ը էներգիային համապատասխանող օպերատորն է և կոչվում է Համիլտոնի օպերատոր։ Մասնիկի դեպքում H᷍ = (p᷍2x + p᷍2y + p᷍2z)/(2m+u) = -(ℏ/2m) Δ + u, որտեղ m-ը մասնիկի զանգվածն է, Δ-ն Լապլասի օպերատորը, ս-ն՝ պոտենցիալ էներգիան։ Տեղադրելով H᷍-ի այդ արտահայտությունը (3)-ի մեջ, ստացվում է Շրեդինգերի հավասարումը՝ Δψ + (2m/ℏ2) (E - u) ψ(x, Y, z) = 0: Ստորև բերվում են նրա լուծումները երկու կարևոր դեպքերի համար։ 1. Միաչափ ներդաշնակ օսցիլյատոր. u = μω2x2/2, որտեղ μ-ն համակարգի բերված զանգվածն է, ω-ն՝ ներդաշնակ տատանման հաճախականությունը։ Շրեդինգերի ψ(x) + (2μ/ℏ2) (E - μω2x2/2) ψ(x) = 0 v հավասարումը ստանդարտ պայմաններին բավարարող լուծումներ ունի միայն էներգիայի En = hω(n+1/2) ընդհատուն արժեքների համար՝ ո=0, 1, 2, 3,…: ψn-ի համապատասխան լուծումը չի բերվում։ 2. Ջրածնանման ատոմի պրոբլեմը (էլեկտրոնի պտույտը Ze լիցքով միջուկի կուլոնյան դաշտում). ս=-Ze2/r, որտեղ r-ը հեռավորությունն է միջուկից։ Սպինն անտեսելու դեպքում էլեկտրոնի շարժման վիճակը որոշվում է 3 մեծություններով. էներգիայով՝ E, մոմենտի քառակուսով՝ L2 նրա Lz բաղադրիչով։ Այդ մեծությունների արժեքները և համապատասխան ալիքային ֆունկցիաները որոշվում են H᷍ψ2 = Eψ, L᷍2ψ = L2ψ, L᷍zψ = Lzψ երեք հավասարումներով։ Այստեղ փոփոխականներն անջատվում են՝ ψ(r,θ,φ) = R(r) Y(θ,φ), որտեղ Y-ը վերջին երկու հավասարումների, այսինքն (2)-ի լուծումն է։ Առաջին հավասարման մեջ տեղադրելով Ψ=RY-ը ու նկատի ունենալով L2-ու և Lz-ի վերևում բերված արժեքները, ստացվում է Շրեդինգերի հավասարումը R(r) շառավղային ֆունկցիայի համար.R + 2/r R' + 2 c/ℏ2 [E +Ze2/r - ℏ2 l (l+1) / 2μ/r2 ] R(r) = 0 (4)Այստեղ μ=mM/(m+M)-ը բերված զանգվածն է, m-ը՝ էլեկտրոնի զանգվածը, իսկ M-ը՝ միջուկինը։ (4) հավասարման՝ ստանդարտ պայմաններին բավարարող լուծումներն ստացվում են En = Z2μe4/2ℏ2n2 արժեքների դեպքում (ո-ը գլխավոր քվանտային թիվն Է): Ուրեմն ջրածնանման ատոմում էլեկտրոնի վիճակը նկարագրվում է ψnlm(r,θ,φ) = Rsub>nl(r) Ysub>nm(θ,φ), ալիքային ֆունկցիաներով (նրանց տեսքը չի բերվում), որոնք իրենց հերթին որոշվում են Е, L, Lz) մեծությունների հետևյալ արժեքներով՝En = - (Z2μe4/2ℏ2) / n2, L2 = ℏ2 l (l+1) Lz = ℏm, (5)որտեղ n = 1, 2, 3,…, l = 0, 1, 2,…, (n-1), m = 0, ±1, ±2, ±l: Ք. մ-ի մյուս հիմնական օրենքը վերաբերում է վիճակի ժամանակային փոփոխությանը.iℏ∂ψ/∂t=H᷍ψ(q,t), (6)որը կոչվում է Շրեդինգերի ժամանակային հավասարում։ Սա լրիվ ինֆորմացիա է պարունակում ժամանակի ընթացքում համակարգի վիճակի փոփոխման վերաբերյալ։ Այդ հավասարումից հետևում է կամայական մեծության փոփոխման օրենքը, որը հարմար է գրել օպերատորի համար.df᷍/dt=∂f᷍/∂t+(i/h)(H᷍f᷍ -f᷍H᷍): (7)Սրանից հեշտությամբ կարելի է ստանալ համապատասխան մեծության հավասարումը։ (7)-ը կոչվում է շարժման քվանտային հավասարում։ Նկատի ունենալով (3)-ը, ստացիոնար վիճակների համար (6)-ից ստացվում է Ψ(զ, t)=Ψ (զ, 0)*exp(-iEt/ℏ) հավասարումը, այսինքն՝ ալիքային ֆունկցիան ժամանակի ընթացքում փոփոխվում է պարբերական ձևով։ Ռելյատիվիստական դեպքում էլեկտրոնի ալիքային ֆունկցիան որոշվում է Դիրակի հավասարումով, որը ռելյատիվիստական Ք. մ-ի և քվանտային էլեկտրադինամիկայի հիմքն է կազմում։ Երբեմն հանդիպող այն կարծիքը, թե պատճառականության օրենքը Ք. մ-ում ճշգրիտ չի պահպանվում՝ իբր այն ճիշտ է վիճակագրական իմաստով, թյուրիմացության արդյունք է։ Ք. մ-ի մեթոդներով հետևողականորեն նկարագրելիս համակարգի վիճակը միկրոաշխարհում փոփոխվում է խիստ պտտճառականորեն։ Իսկապես, (6)-ից երևում է, որ սկզբնական պահի Ψ(գ, 0) վիճակով համակարգի վիճակը նախորդ և հետագա պահերին որոշվում է միարժեքորեն։ Իսկ վիճակը որևէ պահին որոշելու հնարավորության մասին խոսվեց վերևում։ Անորոշություններ (վիճակագրական հանգամանքներ) առաջանում են միայն այն դեպքում, երբ փորձ է արվում քվանտային համակարգի վիճակը նկարագրել նյուտոնյան մեխանիկայի մեթոդներով, վերագրելով նրան դասական հատկություններ։ Այդ դեպքում իսկապես առաջանում են անորոշություններ, շեղումներ պատճառականության օրենքից, բայց դրանք նկարագրման մեթոդի սահմանափակության վկայությունն են միայն և չեն առնչվում համակարգի էությանը։
Գրկ. Սահակյան Գ. Ս., Չուբարյան Է. Վ., Քվանտային մեխանիկա, Ե., 1972: Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики, 6 изд., М., 1983; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика. Нерелятивистская теория, 3 изд., перераб. и доп., М., 1974 (Теоретическая физика, т. 3); Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М., Фейнмановские лекции по физике, [пер. с англ], 2 изд., в. 8, 9, М., 1978.
ՔՎԱՆՏԱՅԻՆ ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆ թերմոդինամիկական հավասարակշիռ
