մություն։ 1965-ից նրա ղեկավարությամբ տարվում են համակարգված հետազոտու– թյուններ՝ նվիրված ընդհանուր օրթո– գոնալ համակարգերի և բազիսների, ինչ– պես նաև կոնկրետ օրթոգոնալ համակար– գերի (Ուոլշի, Հաարի և այլ եռանկյունա– չափական համակարգերի) ուսումնասի– րությանը։ Կարևոր արդյունքներ են ստաց– վել տարբեր իմաստներով ունիվերսալ օրթոգոնալ շարքերի գոյության վերա– բերյալ։ Լուծվել են մի շարք խնդիրներ, որոնք վերաբերում են օրթոգոնալ շար– քերի՝ դրական չափի բազմությունների վրա անվերջությանը զուգամիտելու պրոբ– լեմին և, որոնք որոշակի առաջընթաց են Լուզինի առաջադրած համապատասխան խնդրի լուծման ուղղությամբ։ Լուծվել է ինտեգրելի ֆունկցիաներին զուգամիտող Ուոլշի շարքերի գործակից– ների վերականգնման խնդիրը և ապա– ցուցվել են Կանտորի և Վալլե–Պուսսենի տիպի այնպիսի միակության թեորեմներ Հաարի և Ուոլշի համակարգերի համար, որոնց հանգունակները եռանկյունաչա– փական համակարգի դեպքում տեղի չու– նեն կամ մինչ այդ հայտնի չէին։ Ապացուց– վել են ընդհանուր բնույթի թեորեմներ, որոնց համաձայն չափելի ֆունկցիաների համակարգերի լրիվության որոշ հատ– կություններ պահպանվում են նաև այդ համակարգերից վերջավոր թվով ֆունկ– ցիաներ հեռացնելուց հետո։ Կարևոր արդ– յունքներ են ստացվել ոչ լրիվ մինիմալ համակարգերի մուլտիպլիկացիոն լրաց– ման միջոցով բազիսներ ստանալու հար– ցում։ Տրվել են նաև օրթոգոնալ համա– կարգերի որոշ հատկությունների և այդ համակարգերով վերլուծությունների զու– գամիտության կապի վերաբերյալ մի քա– նի կարևոր խնդիրների լուծումները։ նս– տացվել են կարևոր թեորեմներ հավանա– կանական տարածություններում չավւելի ֆունկցիաների մարտինգալներով ներկա– յացման, այդ մարտինգալների կառուց– վածքի և նրանց միակության վերաբեր– յալ։ Ֆունկցիոնալ անալիզ։ Այս բնագավա– ռում հետազոտությունները սկսվել են 50-ական թվականներին Երևանի համալ– սարանում և ՀՍՍՀ ԳԱ մաթեմատիկայի և մեխանիկայի սեկտորում, դրանք նվիր– ված էին նոր տիպի եզրային խնդիրները հիլբերտյան տարածության մեջ Կոշիի օպերատորային խնդրին հանգեցնելու հարցերին (Ռ․ Ալեքսանդրյան)։ Պտտվող հեղուկի որակական տեսության մաթ․ հե– տազոտություններին նվիրված մի շարք աշխատանքների համար Ռ․ Ալեքսանդր– յանը 1986-ին արժանացավ ՍՍՀՄ պետ․ մրցանակի։ Հետագայում մի շարք մաթե– մատիկոսների աշխատանքներով էապես ընդլայնվեց հետազոտությունների թեմա– տիկան ինչպես ֆունկցիոնալ անալիզի, այնպես էլ դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հա– վասարումների բնագավառներում։ Հետա– զոտությունների հիմնական ուղղություն– ներն են՝ օպերատորների տեսությունը, օպերատորային հավասարումները, ինք– նահամալուծ օպերատորային հավասա– րումները, ինքնահամալուծ օպերատորնե– րի սպեկտրային տեսությունը։ Կամայական ինքնահամալուծ օպերա– տորի ռեզոլվենտի տերմիններով մուծ– վել է սպեկտրի կորիզի գաղափարը, մշակ– վել է սեփական ֆունկցիոնալների լրիվ համակարգի կառուցման ունիվերսալ եղա– նակ, և ըստ այդ ֆունկցիոնալների՝ սպեկ– տրային վերլուծության վերաբերյալ թեո– րեմներ։ Ապացուցվել են նոր տիպի առըն– չություններ, որոնցից բխում են սպեկտրի որակական բնույթը բնորոշող հայտանիշ– ներ (Ռ․ Ալեքսանդրյան, Ռ․ Մկրտչյան)։ Բանախյան հանիահաշիվների տեսության ասպարեզում ապացուցվել են թեորեմներ, որոնք զարգացնում են Հոֆմանի արդ– յունքները Ստոունի–Վայերշտրասի տի– պի թեորեմների ընդհանրացման ուղղու– թյամբ, ինչպես նաև Վերների թեորեմների դիսկ–հանրահաշիվների մաքսիմալու– թյան և ընդհանրացրած անալիտիկ ֆունկ– ցիաների հանրահաշիվների վերաբերյալ։ Հետազոտվել են որոշ դասի բազմանդա– մային օպերատորային փնջի սպեկտրա– յին հատկությունները, առաջարկվել է նրանց սեփական ֆունկցիոնալների կա– ռուցման եղանակ։ Բացահարովել են Շրե– դինգերի հավասարումն ընդգրկող որոշ դասի ոչ ստացիոնար օպերատորային հա– վասարումների լուծումների ասիմպտո– տիկ համարյա պարբերականության պայ– մանները։ Դիֆերենցիալ U ինտեգրալ հավասա– րումներ։ Այս ասպարեզում հայ մաթեմա– տիկոսներն սկսել են աշխատել 1930-ական թվականներից՝ ստանալով որոշ արդ– յունքներ պարաբոլական հավասարումնե– րի վերաբերյալ։ Համակարգված հետազո– տություններ սկսվել են 1948-ից Ռ․ Ալեք– սանդրյանի աշխատանքներով։ Ներկա– յումս հետազոտությունների հիմնական ուղղություններն են՝ էլիպսական, հիպո– էլիպսական, հիպերբոլական և թույլ հի– պերբոլական հավասարումներ, ինտեգրալ (այդ թվում՝ սինգուլյար ինտեգրալ) հա– վասարումներ։ Հետազոտվել են նոր բնույ– թի եզրային խնդիրներ որոշ ոչ դասական դիֆերենցիալ հավասարումների համա– կարգերի համար, Դիրիխլեի խնդիրը լարի տատանման հավասարման համար, մուծ– վել է ընդհանրացված սեփական ֆունկ– ցիայի հասկացությունը։ Մ․ Ջրբաշյանը և Հ․ Ներսիսյանն առաջին անգամ դիտար– կել են նոր բնույթի եզրային խնդիրներ և սպեկտրային վերլուծություններ՝ առընչ– ված կոտորակային կարգի դիֆերենցիալ օպերատորների հետ։ Ուսումնասիրվել են Շտուրմի–Լիուվիլի խնդրի սպեկտրային վերլուծությունները և ստացված արդ– յունքները տարածվել Դիրակի միաչափ համակարգերի վրա (Ի․ Սարգսյան)։ Արդ– յունքները շարադրված են Բ․ Լևիտանի և Ի․ Սարգսյանի «Սպեկտրային տեսության ներածություն։ Ինքնահամալուծ սովորա– կան դիֆերենցիալ օպերատորներ» մե– նագրությունում (ռուս․, 1970)։ Ուսումնա– սիրվել է Շտուրմի–Լիուվիլի հակադարձ խնդիրը, ինչպես նաև բարձր կարգի հա– վասարումների դեպքում ցրման տեսու– թյան հակադարձ խնդիրը։ Հ․ Ներսիսյանը ուշացող արգումենտով հավասարման եզ– րային խնդրի համար ստացել է ըստ սե– Փական ֆունկցիաների վերլուծության թեորեմներ, մշակել է թույլ (ոչ խիստ) հիպերբոլական հավասարումների հա– մար որոշ խնդիրների ուսումնասիրու– թյան եղանակ, մուծել և օգտագործել է Վոլտերայի ինտեգրալ հավասարման ընդ– հանուր հասկացությունը, ինչպես նաև առաջարկել ինտեգրալ օպերատորների շրջման մի եղանակ, երբ կորիզը բավա– րարում է մասնակի ածանցյալներով դի– ֆերենցիալ հավասարման։ Ուսումնասիրվել են որոշ ոչ ինքնահա– մալուծ դիֆերենցիալ օպերատորների սպեկտրի վարքը և գրգռումները։ Ն․ Թով– մասյանը և ուրիշներ հետազոտել են Դի– րիխլեի և Նոյմանի խնդիրները խզվող եզրային տվյալների դեպքում, ստացել մի շարք արդյունքներ ընդհանուր էլիպ– սական համակարգերի վերաբերյալ։ Հե– տազոտվել հն նաև սովորական դիֆերեն– ցիալ հավասարումներ ընդհանրացրած ֆունկցիաների դասում, ստացվել մի շարք արդյունքներ սինգուլյար ինտեգրալ հա– վասարումների վերաբերյալ (Ն․ Թով– մասյան)։ Ուսումնասիրվել են Վիների– Հոպֆի ինտեգրալ հավասարումները եզա– կի դեպքում (Ն․ Թովմասյան, Ն․ Ենգի– բարյան)։ Հետազոտվել են նաև ճառա– գայթման տեղափոխության տեսության ինտեգրալ և ինեգրադիֆերենցիալ հավա– սարումները (Ն․ Ենգիբարյան)։ Հ․ Ղա– զարյանը ուսումնասիրել է ընդհանուր դիֆերենցիալ օպերատորներին համա– պատասխանող բազմանդամների վարքը և դրանով իսկ բացահայտել հիպոէլիպ– սականության պայմանը ոչ ռեգուլյար օպերատորների որոշ դասի համար, ինչ– պես նաև ստացել լուծումների որոշ գնա– հատականներ։ Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն։ Այս ասպարեզում աշխատանքներն սկըս– վել են հետպատերազմյան տարիներին, ստացվել են մի շարք արդյունքներ պա– տահական պրոցեսների տեսության, իսկ ավելի ուշ՝ X2 հայտանիշի վերաբերյալ։ 1970–80-ին Ռ․ Համբարձումյանի աշ– խատանքներով ստեղծվել է նոր ուղղու– թյուն՝ կոմբինատորային ինտեգրալ երկ– րաչափությունը, որը կարևոր կիրառում– ներ է գտել ստոխաստիկ երկրաչափու– թյան խնդիրների հետազոտություններում, մասնավորապես, լուծվել են երկրաչա– փական պատահական պրոցեսների տա– րա ծաբ անութ յանը (ստերեոլոգիա) վե– րաբերող խնդիրներ։ Դիտարկվել են նաև ստոխաստիկ երկրաչափության այլ հար– ցեր։ Ստացված արդյունքները շարադրված են Ռ․ Համբարձումյանի «Կոմբինատորա– յին ինտեգրալ երկրաչափություն» մենա– գրությունում (անգլ․, 1982)։ Լուծվել են զանգվածային սպասարկման տեսության մի շարք խնդիրներ (է․ Դանիելյան), որոշ արդյունքներ են ստացվել նաև ստոխաս– տիկ դիֆերենցիալ հավասարումների, վի– ճակագրական ֆիզիկայի, ինֆորմացիա– ների տեսության, պրոցեսների տեսու– թյան ասպարեզներում։ Երկրաչափություն, տոպոլոգիա, հան– րահաշիվ։ Երկ րաչափության բնա– գավառում հետազոտությունները Հայաս– տանում սկսվել են 1940-ական թթ․ Երևա– նի համալսարանում՝ նվիրված ուղղագիծ կոնգրուենցիաների աֆինային տեսության
