1846–51 թթ․ սովորել է Դյոթինգենի և Բեռլինի համալսարաններում, լսել և աշակերտել է Դաուսին, Յակոբիին, Դիրիխլեին, Վեբերին։ 1857-ից՝ Դյոթինգենի համալսարանի պրոֆեսոր (1959-ից՝ ամբիոնի վարիչ)։ «Մեկ կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների ընդհանուր տեսության հիմունքները» թեմայով պաշտպանած (1851) դոկտորական դիսերտացիայում Ռ․ դրել է անաւիտիկ ֆունկցիաների երկրաչափական տեսության հիմքերը, մուծել է, այսպես կոչված, ռիմանյան մակերևույթի գաղափարը, մշակել կոնֆորմ արտապատկերումների տեսությունը և, այդ կապակցությամբ, մուծել տոպոլոգիայի մի շարք հիմնական գաղափարներ։ Ռ–ի մշակած մեթոդները լայն կիրառություն գտան նրա հետագա՝ հանրահաշվական ֆունկցիաներին և ինտեգրալներին, դիֆերենցիալ հավասարումների անալիտիկ տեսությանը, թվերի անալիտիկ տեսությանը վերաբերող աշխատանքներում․ վերջինում, օրինակ, Ռ․ նշել է պարզ թվերի բաշխման և ձետա ֆունկցիայի հատկությունների, մասնավորապես կոմպլեքս տիրույթում ձետայի զրոների կապը՝ այսպես կոչված «Ռիմանի վարկածը», որը դեռևս չի ապացուցվել։ «Երկրաչափության հիմքում ընկած վարկածների մասին դասախոսության մե9 (1854) Ռ․ տվել է մաթեմատիկական տարածության ընդհանուր գաղափար (իր խոսքերով՝ «բազմաձևություն»), որտեղ երկրաչափությունը դիտարկել է որպես ուսմունք ո–չափանի անընդհատ բազմաձևությունների մասին, ավելի մանրամասն դիտարկել է ռիմանյան տարածությունները, որոնք Էվկլիդեսի և Լոբաչևսկու տարածությունների ընդհանրացումն են։
Ռ–ի առաջադրած մեթոդներն ու գաղափարները խորը ազդեցություն են թողել XIX դ․ 2-րդ կեսի և XX դ․ մաթեմատիկայի զարգացման վրա, բացել նոր ուղիներ և մեծ նշանակություն ունեցել XX դ․ ֆիզիկայի (հատկապես հարաբերականության տեսության) համար։ Ռ․ ընտրվել է Բեռլինի ԴԱ թղթ․ անդամ (1859), Փարիզի ԴԱ անդամ (1866), Լոնդոնի թագավորական ընկ․ անդամ (1866)։
Երկ․ Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass, 2 Aufl․, N․ Y․, 1953, в рус․ пер․-Сочинения, М․–Л․, 1948․
Գրկ․ Клейн Ф-, Лекции о развитии математики в XIX столетии, пер․ с нем․, ч․ 1, М․-Л․, 1937․
ՌԻՄԱՆ (Riemann) Կարլ Վիլհելմ Ցուլիուս Հուգո (1849–1919), գերմանացի երաժշտագետ։ Դասավանդել է Համբուրգի (1881–90), Վիսբադենի (1890–95) կոնսերվատորիաներում, Լայպցիգի համալսարանում (1901-ից՝ պրոֆեսոր)։ Իր հիմնած Երաժշտագիտության ինստ–ի (Collegium musicum, 1908-ից), Երաժշտ, գիտության ինստ–ի (1914-ից) դիրեկտոր։ Ռ–ի գործունեությունը ընդգրկել է երաժշտության պատմության, տեսության, երաժշտ․ տրամաբանության, հոգեբանության և այլ հարցեր, ձգտել դրանց բազմակողմանի համակարգման։ Ռ–ի ուշադրության կենտրոնում երաժշտ․ երկի ամբողջականության պրոբլեմն էր։ Հարմոնիայի ասպարեզում Ռ․, այսպես կոչված, ֆունկցիոնալ ուղղության հիմնադիրն է։ Ավելի քան 58 գրքերի (այդ թվում՝ «Երաժշտության պատմության ձեռնարկ», հ․ 1–5, 1901 –13), ինչպես և կամերագործիքային, վոկալ երկերի և սիմֆոնիայի հեղինակ է։ Ռ–ի աշխատությունները թարգմանվել են բազմաթիվ լեզուներով։ Համաշխարհային ճանաչման է արժանացել հատկապես «Երաժշտական բառարան»-ը (1882)։ Տեսական կարևոր եզրահանգումներով հարստացնելով երաժշտագիտությունը, այդուհանդերձ Ռ–ի աշխատություններում դրսևորվել է հեղինակի պոզիտիվիստական մեթոդոլոգիայի սահմանափակությունը։ Հռոմի «Աանտա Չեչիլիա» ակադեմիայի (1887), Ֆլորենցիայի թագավորական ակադեմիայի (1894), Լոնդոնի երաժշտ․ ասոցիացիայի (1900) պատվավոր անդամ, էդինբուրգի համալսարանի երաժշտության պատվավոր դ–ր (1899)։
Գրկ․ Мазель Л․, Функциональная школа, в кн․ ։Рыжкин И․, Мазель Л․, Очерки по истории теоретического музыкознания, в․ 1, М․, 1934; История европейского искусствознания, т․ 4, кн․ 1–2–Вторая половина XIX в․–нач․ XX в․, М․, 1969․ Ս․ Կոպան
ՌԻՄԱՆԻ ԻՆՏԵԳՐԱԼ, տես Ինաեգրալ հաշիվ։
ՌԻՄԱՆՅԱՆ ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ, ժամանակակից դիֆերենցիալ երկրաչափության ամենակարևոր և լավ հետազոտված բաժիններից, կոչվել է Բ․ Ռիմանի անունով։ Ուսումնասիրում է ընդհանուր ռիմանյան տարածության [М դիֆերենցելի բազմաձևություն, որի վրա տրված է dl2=Zgij(x,1,x2,- • • ,^n)dx,‘dx;J(gij=gji, det(gij)^fcO) դրական որոշյալ մետրիկական ձև] դիֆերենցիալ երկրաչափական հատկությունները։ Ռ․ ե–յան հիմքում ընկած են ո–չափանի տարածության և մակերևույթի ներքին երկրաչափության գաղափարները։ Ռ․ ե–յան մեջ մետրիկայի առկայությունը հնարավորություն է տալիս չափելու ողորկ կորի երկարությունը, մի կետից ելնող երկու կորերի կազմած անկյունը, տիրույթի ծավալը ևն։ Ռիմանյան տարածության մեջ ուղիղ գծի դեր են կատարում։ հավասարումներին բավարարող Հ–Xi(s)p(i=l, 2, ․․․, ո) գեոդեզական գծերը (գծեր, որոնք բավականաչափ փոքր տիրույթներում միևնույն ծայրակետերն ունեցող կորերից ամենակարճն են), որտեղ մեծությունները Քtր իtս տոֆելի պայմանանշաններն են և արտահայտվում են մեարիկական տենզորի gjj բաղադրիչներով և դրանց առաջին կարգի մասնական ածանցյալներով։ Г1 –երի միջոցով ռիմանյան տարածության մեջ մուծվում է զուգահեռ տեղափոխության գաղափարը։ Ռիմանյան տարածության գեոդեզական գծերի վարքը էապես կախված է դրանց կորության տենզորից․ վերջինս մակերևույթի գաուսյան կորության բնական ընդհանրացումն է և որոշում է М տարածության լոկալ (տեղային բնույթ կրող) հատկությունները։ Այդ տենզորի հետ են կապված նաև М-ի որոշ տոպոլոգիական հատկություններ։
Գրկ․ Эйзенхарт Л․ П․, Риманова геометрия, пер․ с англ․, М․, 1948․ Ս․ Հարությունյան
ՌԻՄԱՆՅԱՆ ՄԱԿԵՐԵՎՈՒՅԹ, ֆունկցիաների տեսության հիմնական գաղափարներից․ մուծել է Բ․ Ռիմանը։ Վերացական Ռ․ մ․ մեկ (կոմպլեքս) չափողականության կոմպլեքս անալիտիկ բազմաձևություն է։ Ամեն մի վերացական Ռ․ մ․ կարելի է դիտարկել որպես մասնավոր (կոնկրետ) Ռ․ մ․, այսինքն՝ М (իրական) երկչափ տոպոլոգիական բազմաձևություն {(Ս, Փ)} ատլասով և F։M–>C արտապատկերումով, որոնց համար FOcp-1^ հաստատունից տարբեր մերոմորֆ ֆունկցիա է բոլոր փ լոկալ պարամետրերի համար։ Տրված ատլասի հետ համաձայնեցված լոկալ պարամետրերի պատշաճ ընտրության դեպքում այսպիսի արտապատկերման գոյությունը հնարավոր է դարձնում Ռ․ մ–ի երկրաչափական նկարագրությունը, այն է՝ С կոմպլեքս հարթության վրա փռված բազմաթերթ մի մակերևույթ, որի կետերի շրջակայքերը կամ հարթ, կամ K-շերտանի (K > 1) շրջաններ են, ընդ որում մակերևույթը կարող է ծածկվել նշված շրջակայք երի հաշվելի ընտանիքով։ Դասական իմաստով, անալիտիկ ֆունկցիայի Ռ․ մ․ կազմված է նրա ճյուղերի քանակով, հարթ տիրույթներից, որոնք պատշաճ կերպով ընտրված ճեղքերի եզրերով միացված են իրար։ Ա․ Ներսիսյան
ՌԻՄԱՆՅԱՆ ՏԱՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ, տես Ռիմանյան երկրաչափություն։
ՌԻՄԵՆՇՆԱՅԴԵՐ (Riemenschneider) Տիլման (մոտ 1460–1531), Վերածննդի շրջանի գերմանացի քանդակագործ։ Ստեղծագործել է Վյուրցբուրգում (1483-ից)։ Ռ–ի աշխատանքներում (Ռուդոլֆ ֆոն Շերենբերգի մահարձանը, քար, 1496–99, Վյուրցբուրգի Աանկա Կիլիան տաճար, «Ա․ արյան» խորանը, փայտ, 1501 – 04, Ցակոբսկիրխե, Ռոտենբուրգ) պահպանվել են ուշ գոթիկային բնորոշ դինամիկ ձևերն ու բեկվող գծերը։ Սակայն Ռ․ առաջիններից էր, որ հրաժարվեց արձանները երանգավորելու և ոսկեպատելու ավանդույթից, վարպետորեն օգտագործեց նյութի ֆակտուրան և հատուկ ուշադրություն դարձրեց դիմախաղի և ժեստերի կենսական հավաստիությանը։ Ուշ շրջանի գործերում (Մարիայի խորանը, փայտ, 1505– 1510, Հերգոտսկիրխե, Կրեգլինգեն) դրսևորվել է կերպարների առավել ընդհանրացման և ներքին պարզության, կոմպո–
