а=з*=0 և ճփՕ դեպքում, կոչվոէմ է այն վեկտորը, որն ունի |Х||а[ երկարություն և X >0 դեպքում՝ a-ի ուղղությունը, Х< 0 դեպքում՝ a-ի հակադիր ուղղությունը։ Երբ а=0 կամ Х=0, ընդունվում է Ха=0։ Վեկաորների գումարման և վեկտորը թվով բազմապատկման գործողություններն օժտված են հետնյալ հատկություններով․ 1)ta+b=b+af 2) (a+b)~bc=a+(b+c), 3) а+0=а, 4) a+(–a)=0, 5)tl-a=a, 6) X(|ia)=(Xn)a, 7) X(a+b)=Xa+Xb, 8) (X+|i)a=Xa-j-|ua։ Տարածության բոլոր վեկտորների բազ– մությունը՝ նրանում մուծված գումարման և թվով բազմապատկման գործողություն– ներով, կազմում է վեկտորական տարա– ծություն (գծային տարածություն)։ Վ․ հ–ում կարեոր նշանակություն ունի գծայնորեն կախյալ և գծայնորեն անկախ վեկտորների հասկացությունը։ at, a2,․․․, an վեկտորները կոչվում են գծայնո– րեն կախյալ, եթե գոյություն ունեն այնպիսի Xi, X2,-**, Xn իրական թվեր, որոնցից գոնե մեկը զրո չէ ե՝ Xiai+X2a2+• • • Н-Хп-аи =0 (*) ai, a2,-*՛, an վեկտորները կոչվում են գծայնորեն անկախ, եթե (*) տեսքի հավասարություն տեղի ունի միայն Xi=X2=‘ • -=Xn=0 դեպքում։ Երկու վեկ– տորների գծայնորեն կախյալ լինելու ան– հրաժեշտ և բավարար պայմանը նրանց հ ա մ ա գ ի ծ լինելն է, երեք վեկտորնե– րինը՝ համահարթ լինելը։ Հարթու– թյան վրա գոյություն ունեն երկուսից ոչ ավելի, եռաչափ տարածությունում՝ երե– քից ոչ ավելի գծայնորեն անկախ վեկտոր– ներ։ Եռաչափ տարածության մեջ ցանկա– ցած ei, e2, e3 տարաեարթ (գծայնորեն անկախ) վեկտորներ՝ վերցրած որոշակի կարգով, կազմում են հ ի մ ք (բազիս)։ Ցանկացած a վեկտոր միակորեն ներկա– յացվում է а=а1е!+а2е2+азез տեսքով։ ei, e2, e3 վեկտորները կոչվում են հիմնային (բազիսային) վեկ– տորներ, իսկ ai, a2, a3 թվերը՝ a վեկ– տորի կոորդինատներ (պրո– յեկցիաներ) տվյալ հիմքի նկատ– մամբ։ Վեկտորն իր կոորդինատներով գրվում է՝ a={ai, а2, аз}։ Երեք փոխուղ– ղահայաց (օրթոգոնալ) միավոր վեկտոր– ները կազմում են ու ղ ղ ա ն կ յ ու ն նորմավորված (օրթոնորմավոր– ված) հիմք։ Եթե այդ վեկտորները կիրա– ռենք մեկ Օ կետում, դրանք կկազմեն դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատա– յին համակարգ (նկ․ 4)․ այդպիսի միավոր վեկտորները սովորաբար նշանակում են i, J, к։ Վեկտորների բազմապիսի կիրառու– թյունների համար սահմանվում են վեկ– տորների տարբեր տեսակի՝ սկալյար, վեկտորական, խառը և կրկնակի վեկտո– րական արտադրյալներ։ а և b վեկտորների սկալյար ար– տադրյալ (նշանակվում է՝ (a, b)) կոչվում է նրանց երկարությունների և նրանցով կազմված փ անկյան կոսինուսի արտադրյալը4 (a, b)=|a[ [bjcosqp։ Սկալյար արտադրյալն օժտված է հետնյալ հատկություններով՝ 1) (a*,b)=0, եթե a=0, կամ b=0, կամ a_Lb ^ф=^, 2) (a,b) = =(b,a), 3) (Xa,b)=(a,Xb)==X(a,b),4) (a+ +b,c)=(a,c)+(b,c), 5) (a,a)==[a|2^0, 6) (a,b)=(a)um հ==(ե)պր *։ а Ъ Կոորդինատային առանցքների հետ а={х» у․ z} վեկտորի կազմած a, թ, у անկյունների կոսինուսները կոչվում են а վեկտորի ուղղորդ կոսինուս– ն և ր․ X cosa= –г․– =r, Х2 + У2 + 22 У cos3=;՜;՛՜՜։՜–■։ ==՜» У x2+y 2+z2 cosy-– Z ==■» V X2-fy2 + z2 cos2a+ օօտ2|3-{-շօտ27= 1։ Վեկտորական արտադրյալի սահման– ման և այլ հարցերի համար կարեոր է վեկտորների աջ եռյակ և ձախ եռյակ հաս– կացությունը։ Ընդհանուր սկիզբ ունեցող а, b, с տարահարթ վեկտորների կարգա– վորյալ եռյակը կոչվում է աջ եռյակ (ձախ եռյակ), եթե նրանք դասա– վորված են այնպես, ինչպես կարող են դասավորվել աջ ձեռքի (ձախ ձեռքի) հա– մապատասխանորեն՝ բութ մատը, չծա– լած ցուցամատը և կիսածալած միջամատը (նկ․ 5)։ Վ․ հ–ում i, j, к վեկտորները կազ– մում են աջ եռյակ։ a U b վեկտորների վեկտորական արտադրյալ (նշանակվում է [a, b]) կոչվում է այն վեկտորը, որն ուղղա– հայաց է а և b վեկտորներին և ուղղված է այնպես, որ a, b, [a, b] վեկտորները կազմում են ա ջ եռյակ, իսկ երկարու– թյունը հավասար է а-ի և b-ի երկարու– թյունների և նրանցով կազմված փ ան– կյան սինուսի արտադրյալին՝ |а||Ь| տափ։ Վեկտորական արտադրյալն օժտված է հետնյալ հատկություններով՝ 1) [a, b]=0, եթե а=0, կամ b=0, կամ а-ն և b-ն համագիծ են (փ=0 կամ ф=л), 2) [а, b]=–[b, а]․ 3) [Ха, Ь]=[а, Xb]= =Х[а, Ь], 4) [а+b, с]=[а, с]+[Ь, с]։ а, Ь, с երեք վեկտորների խառն ար– տադրյալ կամ վեկտոր ա–ս կ ա լ– յար արտադրյալ (նշանակվում է՝ (а, b, с)) կոչվում է [a, b] և с վեկտորների սկալյար արտադրյալը՝ (a, b, с)=([а, b], с)։ а, b, с երեք վեկտորների կրկնակի վեկտորական արտադրյալ (նշանակվում է [а, b, с]) կոչվում է [a, b] և с վեկտորների վեկտորական արտադըր– յալը՝ [a, b, с]=[[а, b], с], որը կարելի է հաշվել [a, b, с]=(а, c)b–(b, с)а բանա– ձևով։ Վեկտոր–ֆունկցիա․ եթե է սկալյար փոփոխականի արժեքների {է} բազմու– թյանը պատկանող յուրաքանչյուր արժե– քի համապատասխանում է որոշակի г վեկտոր, ապա ասում են, որ {է} բազմու– թյան վրա որոշված է r=r(t) վեկտոր– ֆունկցիա (վեկտորական ֆունկ– ցիա)։ Այդ համարժեք է նրան, որ {է} բազմության վրա տրված են г վեկտորի կոորդինատները՝ x;=x;(t), y=y(t), z= = z(t) սկալյար ֆունկցիաները։ Վեկտոր– ֆունկցիայի մասին երկրաչափական ակ– նառու պատկերացում է տալիս նրա հո– դոգրաֆը։ Վեկտոր–ֆունկցիայի սահմանը, անընդհատությունը, ածանցյալը են ձևա– կանորեն սահմանվում են ինչպես սկալ– յար ֆունկցիայի համար, ուստի և պահ– պանվում են դրանց հիմնական հատկու– թյուններն ու բանաձևերը։ Համանմանորեն դիտարկվում են մի քանի սկալյար արգումենաների վեկտոր– ֆունկցիաներ, նրանց մասնակի ածանց– յալները ևն։ Վեկտորական անալիզն ուսումնասի– րում է վեկտորական և սկալյար դաշտեր (տես Դաշտի տեսություն)։ Եթե տվյալ տիրույթում տրված է ս(*, y, z) սկալյար ֆունկցիա կամ а(х;, у, z) վեկտոր–ֆունկ– ցիա, ապա այդ տիրույթում որոշված Է, համապատասխանորեն, ս սկալյար դաշտ կամ а վեկտորական դաշտ։ Սկալյար դաշտը երկրաչափորեն պատ– կերվում Էմակարդակիմակեր fa– il ույթներով (հարթ դեպքում՝ մ ա– կարդակի գծերով), որոնց վրա ս ֆունկցիան պահպանում է հաստատուն արժեքներ։ ս սկալյար դաշտի կարևոր բնութագրիչ է նրա գրադիենտը։ Վեկտորական դաշտը երկրաչափորեն պատկերվում է վեկտորական գծերով (որոնց յուրաքանչյուր կետում շոշափող վեկտորն ունի դաշտի ուղղու– թյունը), դրանցից կազմված վեկտո– րական մակերևույթներով ու վեկտորական խողովակ– ներով (նկ․ 6)։ Վեկտորական դաշտը բնութագրող կարեոր հասկացություններ են՝ դաշտի շրջապտույտը (ց ի ր կ ու լ յ ա ց ի ա) I գծով՝
