Էջ:Հայկական Սովետական Հանրագիտարան (Soviet Armenian Encyclopedia) 7.djvu/142

$E_{\xi }=\sum _{k}{x_{k}}P(\xi =x_{k}),E_{\xi }=\int \limits _{-\infty }^{\infty }xp(x)dx,$ որտեղ, $x_{k}$-երը $\xi$-ի հնարավոր արժեքներն են, $P(x)$-ը՝ $\xi$–ի հավանականության խտությունը: Մ. ս–ման հիմնական հատկություններն են. 1. $EC=C$, 2. $E(C\xi )=CE\xi$, 3. $E(\xi +\eta )=E\xi +E\eta$, 4. $E(\xi \eta )=E\xi E\eta$, եթե պատահական մեծություններն անկախ են: Մ. ս. բնութագրում է պատահական մեծության արժեքների դասավորությունը: Մ. ս–ի այդ հատկությունը ըստ էության բացատրվում է մեծ թվերի օրենքով:
ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՎԻՃԱԿԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆ, մաթեմատիկայի բաժին, որի նպատակն է վիճակագրական (տես Վիճակագրություն) դիտման մեթոդների մշակումը և վիճակագրական տվյալների համակարգումն ու վերլուծությունը: Մ. վ. սերտորեն կապված է հավանականությունների տեսության հետ: Մ. վ–յան հիմնական խնդիրներից է պատահական մեծությունների թվային բնութագրիչների (հավանականություն, բաշխման ֆունկցիա, մաթ. սպասում, դիսպերսիա ևն) գնահատման մեթոդների մշակումը: Սովորաբար, պատահական երևույթների ուսումնասիրման ժամանակ, այդ թվային բնութագրիչները լինում են անհայտ և պետք է գնահատվեն փորձի տվյալների, այսինքն՝ պատահական մեծության նկատմամբ կատարած դիտումների արդյունքների հիման վրա: Հաճախ հայտնի է լինում դիտարկվող պատահական մեծության բաշխման ֆունկցիայի տեսքը, մինչդեռ նրա պարունակած պարամետրերի արժեքները լինում են անհայտ: Այդ պարամետրերի համար հնարավոր չափով ճիշտ և հուսալի գնահատականներ գտնելու խնդրով զբաղվում է բաշխման ֆունկցիաների պարամետրերի գնահատման բաժինը: Մ. վ–յան կարևոր բաժիններից է վիճակագրական հիպոթեզների (այսինքն՝ պատահական մեծության բաշխման ֆունկցիայի վերաբերյալ ենթադրությունների) ստուգման տեսությունը: Պատահական ազդակների ազդեցությամբ փոփոխվող մեծությունների միջև կախվածության հարցերն ուսումնասիրում է կոռելյացիայի տեսությունը: Մ. վ–յան ուսումնասիրությունների շրջանակները սրանով չեն սահմանափակվում. բնագիտության և տեխնիկայի զարգացումը մշտապես առաջադրում են նոր խնդիրներ, որոնց լուծումը հանգեցնում է Մ. վ–յան մեթոդների հետագա կատարելագործմանը:
Արդի Մ. վ–յան զարգացմանը էապես նպաստել են Ռ. Ֆիշերի, Յու. Նեյմանի, Ա. Վալդի, սովետական գիտնականներ Ա. Ն. Կոլմոգորովի, Ն. Վ. Սմիռնովի և այլոց աշխատանքները:
Գրկ. Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Ван-дер-Варден Б. Л., Математическая статистика, лер. с нем.. М., 1960; Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В., Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений, 3 изд., М., 1969.
ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՏՐԱՄԱԲԱՆՈՒԹՅՈՒՆ, մտածողության ձևերի մաթեմատիկական մոդելներ ուսումնասիրող գիտություն, այլ տեսակետով՝ Մ. տ., ինչպես և մետամաթեմատիկան, շոշափում է մտածողության այնպիսի ձևեր, որոնք հանդիպում են մաթ. ապացույցներում: Երբեմն «Մ. տ.» գաղափարի մեջ ներառում են նաև Մ. տ–յանը առնչվող այլ մաթ. տեսություններ (բուլյան հանրահաշիվը, ալգորիթմների տեսությունը, ավտոմատների տեսությունը ևն): Մ. տ. ուսումնասիրում է ձևայնացված լեզուներ և համակարգեր (հաշիվներ, տեսություններ), հետազոտում է համակարգերի անհակասականության, լրիվության, բաղադրիչ ձևային կանոնների և աքսիոմների անկախության հարցերը, համապատասխան լեզուների հանրահաշվական հատկությունները, նրանց մեջ արտահայտվող դատողությունների ճշմարտության տարբեր ըմբռնումները, մասնավորապես, ելնելով հանրահաշվական, տոպոլոգիական, ալգորիթմական տեսակետներից (ընդ որում հանրահաշվական մոտեցման դեպքում օգտագործվում են կավարի տեսության եղանակները): Մ. տ. ուսումնասիրում է նաև ձևայնացված հաշիվներում տրամաբանական արտածումների վերակազմավորման, պարզեցման, մինիմիզացման եղանակները, արտածումների որոնման եղանակները հաշվողական մեքենաների օգնությամբ ևն:
Մ. տ–ում ուսումնասիրվող հաշիվները և տեսությունները տարբերվում են ըստ ձևայնացվող տրամաբանության բնույթի (դասական, կոնստրուկտիվ, մոդալ տրամաբանություն) և ըստ մակարդակի (ասույթների տրամաբանություն, պրեդիկատների տրամաբանություն): Պրեդիկատների տրամաբանությունում տարրական դատողությունր վերածվում է տրամաբանական սուբյեկտի (սուբյեկտների) և պրեդիկատի, մինչդեռ ասույթների տրամաբանությունում տարրական դատողությունը դիտվում է որպես անբաժանելի միավոր: Ասույթների հաշիվների ապարատի հիմքը կազմում են տրամաբանական գործողությունները՝ $\And$ («և»), $\lor$ («կամ»), $\lnot$ («ոչ»), $\to$ («բխում է»), պրեդիկատային հաշիվներում օգտագործվում են նաև $\forall$ («կամայական»), $\exists$ («գոյություն ունի»), որոշ հատուկ հաշիվներում՝ $\Diamond$ («հնարավոր է» , $\Box$ («անհրաժեշտ է»), $\tau$ («այնպիսի») ևն գործողություններ: Մ. տ–ում ուսումնասիրվող ձևային տեսությունների գաղափարները և դատողություններն արտահայտվում են բանաձևերով, այսինքն՝ տվյալ տեսության ձևային նշանների որոշակի տիպի վերջավոր զուգակցություններով: Այդ նշանները կարող են արտահայտել տրամաբանական գործողություններ, տեսության օբյեկտների միջև տարրական գործողություններ ($+,-,\cdot$), տարրական հարաբերություններ ($=,<$), օժանդակ նպատակների համար մտցվում են նաև փակագծեր, փոփոխականներ: Այսպես, բնական թվերի թվաբանության մեջ «$x$-ը պարզ թիվ է» դատողությունը կարելի է արտահայտել հետևյալ բանաձևով՝ $(x>1\And \lnot \exists _{y}\exists _{z}((1<y)\And (y<x)\And (y\cdot 2=x)))$ (1), որը վերլուծվում է հետևյալ ձևով «$x>1$ և գոյություն չունեն այնպիսի $y$ և $z$ բնական թվեր, որ $1<y<x$ և $y\cdot z=x$»: Էվկլիդեսի թեորեմը պարզ թվերի քանակության անվերջության մասին արտահայտվում է $\forall _{n}\exists _{x}(n<x\And P)$ բանաձևով, որտեղ $P$-ն վերը նշված (1) բանաձևն է (բանաձևի վերլուծությունը՝ «կամայական $n$ բնական թվի համար գոյություն ունի նրանից մեծ մի պարզ թիվ»): Ձևայնացված տեսության մեջ տրամաբանական արտածումները բանաձևերի վերջավոր հաջորդականություններ են, որոնք կառուցվում են ձևական տրամաբանական կանոնների միջոցով (օրինակ, նախադրյալի կրճատման կանոնը, որի համաձայն կամայական ($A\to B$) և $A$ բանաձևերից թույլատրվում է արտածել $B$ բանաձևը)՝ ելնելով տրամաբանական աքսիոմներից (օրինակ, $(A\And B)\to A$) և տվյալ տեսության կոնկրետ աքսիոմներից (օրինակ, $\forall _{x}\forall _{y}(x+1=y+1\to x=y$)):
Ձևայնացված տեսության արտածումների միջոցով ստացված բանաձևերը կոչվում են այդ տեսության ձևային թեորեմներ: Այս եղանսկով հաջողվում է ձևայնացնել թվաբանությունը, երկրաչափությունը, մաթ. անալիզը, բազմությունների տեսությունը: Մ. տ–յան եղանակներով նշված տեսությունների հետազոտությունները կարևոր են այդ գիտությունների ընդհանուր կոնցեպցիաների և նրանց մեջ որոշ կոնկրետ հարցերի պարզաբանման համար:
Մ. տ–յան ստեղծման հետ կապված հիմնական սկզբունքները տվել է Գ. Վ. Լայբնիցը, մաթեմատիկական ապարատի հիմքերը մշակել է Ջ. Բուլը, պրեդիկատների տրամաբանության ապարատը՝ Գ. Ֆրեգեն: Մաթեմատիկայի հիմունքներում, Մ. տ–յան կիրառման եղանակները տվել են Բ. Ռասելը և Դ. Հիլբերտը: Մ. տ–յան զարգացմանը նպաստել են ձևայնացված տեսությունների հնարավորությունների սահմանափակության մասին Կ. Գյոդելի և Ա. Տարսկու, ասույթների հաշվի լրիվության մասին՝ Է. Պոստի (1921), պրեդիկատների հաշվի լրիվության մասին՝ Կ. Գյոդելի (1930), ձևայնացած թվաբանության անհակասականության մասին՝ Գ. Գենցենի (1936), կոնտինուումի, վարկածի անկախության մասին՝ Կ. Կոհենի (1963) թեորեմները:
ՀՍՍՀ–ում Մ. տ–յան բնագավառում հետազոտություններ կատարվում են ԳԱ Հաշվողական կենտրոնում և Երևանի համալսարանում:
Գրկ. Բրուտյան Գ. Ա., Մաթեմատիկական տրամաբանության ֆիլիսոփայական ներածություն, Ե., 1968: Նույնի, Տրամաբանության դասընթաց, Ե., 1976; Ավետիսյան Ս. Հ., Մաթեմատիկական տրամաբանության հիմնական տարրերը, Ե., 1969: Мендельсон Э., Введение в математическую логику, пер. с англ.. М., 1971; Шенфилд Дж., Математическая логика, М., 1975.Ի. Զասլավսկի ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՖԻԶԻԿԱ, ֆիզիկական երևույթների մաթեմատիկական մոդելների տեսություն, հատուկ տեղ է գրավում մաթեմատիկայում և ֆիզիկայում: Մ. ֆ. ֆիզիկայի հետ սերտ կապի մեջ է այն մասով, որ վերաբերում է ֆիզիկական երևույթների մաթ. մոդելների կառուցմանը. մյուս կողմից՝ Մ. ֆ. մաթեմատիկայի, բաժին է, որովհետև կառուցված մոդելները