վրա անընդհատ և ածանցելի ֆու1 կցիա– ներ։ Սակայն XIX դ․ 2-րդ կեսից Անհրա– ժեշտություն առաջացավ դիտա ւկելու ավելի ընդհանուր տեսակի ֆունկցիանե– րի դասեր, ինչպես և ավելի խոր ու հան– գամանորեն ուսումնասիրելու ածանցելի ֆունկցիաները։ Անալիզի դասական մե– թոդներով հնարավոր չէր այդ հարցերի սպառիչ լուծումը, ուստի հարկավոր էր անալիզի հիմունքների նոր՝ արմսաական վերանայում։ Դա իրականացվեց ) IX դ․ 2-րդ կեսին –XX դ․ սկզբներին, որով և ավարտվեց իրական Փոփոխականի Ֆ․ տ–յան հիմունքների ստեղծումը։ Արդի իրական փոփոխականի Ն․ տ․ սովորաբար պայմանականորեն ] «աժա– նում են երեք ուղղությունների․ 1․ֆունկցիաների դ և ս կ ւ ի պ– տ ի վ (նկարագրական) տեսությու– նում ուսումնասիրվում են հիմնականում սահմանային անցմամբ ստացվող ֆունկ– ցիաների տարբեր դասեր՝ բազմություն– ների դեսկրիպտիվ տեսության 1 իման վրա և նրա հետ առնչված։ 2․ Ֆ ու ն կ ց ի ա ն և ր ի մետրի– կական տես ու թյ ու ն ու մ ֆունկ– ցիաները, ածանցյալները, ինտեգրալնե– րը, ֆունկցիոնալ շարքերն ու հէսշւրդա– կանությունները և նրանց հատկություն– ներն ուսումնասիրվում են՝ հիմնվելով բազմության չափի (տես Չափ բագմու– թյան) և նրա միջոցով սահմանվող ]ւնտե– գրալի հասկացության վրա։ Մուծվո մ են ֆունկցիոնալ շարքերի ու հաջորդականու– թյունների՝ տարբեր իմաստներով զու– գամիտության նւ շարքերի տարբեր եղա– նակներով հանրագումարման հասկացու– թյուններ։ Հանգամանորեն մշակվէլ են ընդհանրացված օրթոգոնալ շարքեր]ւ տե– սություններ, որոնք սերտորեն առէ չվում են կոմպլեքս փոփոխականի Ֆ․ տ–յան մի շարք կարևոր հարցերի հետ։ 3․ Ֆունկցիաների մոտարկ– ման կամ կառուցվածքային (ռեսությունն զբաղվում է որոէ դա– սի ֆունկցիաներն ավելի պարզ ֆունկ– ցիաներով տարբեր իմաստներով մոոար– կեքու հարցերով (տես Մոաավորոդյոճւ– ների տեսություն)։ Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիա– ների տեսություն։ Նեղ իմաստով՝ սնա– էիւոիկ ֆունկցիաների տեսություն ւ Է, լայն իմաստով՝ այնպիսի Ֆ․ տ․, որոնց որոշման տիրույթը կոմպլեքս հար– թության Z կետերի կամ <Cn Էվկլիդեսյան կոմպլեքս տարածության z=(zi, а zn) կետերի որևէ բազմություն է։ Կոմպ– լեքս փոփոխականի Ֆ․ տ․ որպես ի ն ւն ու– րույն գիտաճյուղ ձևավորվել է XIК դ․ կեսերին՝ որպես անալիտիկ Ֆ․ ա․, Օ․ Կո~ շիի, Կ․ Վայերշտրասի և Բ․ Ռիւէանքւ հիմ– նարար աշխատանքներով, որոնց ելա– կետերը եղել են տարբեր։ Ըստ Կ, Վայերշտրասի W=f(z) ֆունկ– ցիան D տիրույթում (D<(C) անալիտիկ (կամ՝ հոլոմորֆ) է, եթե D-ի յուրաքան– չյուր z0 կետի շրջակայքում վերլուծվում է աստիճանային շէսրքի՝ օօ W = f (z) +J] Ck(z - z0)k։ (1) k=0 Շատ կոմպլեքս ՓոՓոխականների ֆունկ– ցիայի դեպքում (1)-ը հասկացվում է որ– պես բազմապատիկ աստիճանային շարք։ Ընդ որում, անալիտիկ շարունակությամբ ստացվող լրիվ անալիտիկ ֆունկցիան կա– րոդ է և բազմարժեք լինել իր որոշման բնական տիրույթում։ Սովորաբար դի– տարկվում են բազմարժեք ֆունկցիայի միարժեք ճյուղերը՝ դրանք ակնառու կեր– պով պատկերելով բազմաթերթ ռիման– յան մակերևույթի տեսքով։ Օ․ Կոշին կոմպլեքս Փոփոխականի Ֆ․ տ․ կառուցել Է, ելակետ ունենալով ածանցյա– յի և մոնոգեն ֆունկցիայի հասկացություն– ները։ f(z) ֆունկցիան կոչվում է մոնոգեն (միածին) E բազմության ւ]րա, եթե նա E բազմության յուրաքանչյուր z կետում ունի միարժեք և անընդհատ (բացի թերևս բևեռներից) ածանցյալ E բազմության վրա։ Երբ E բազմությունը <1 կոմպլեքս հարթության D տիրույթ Է, D-ի վրա ք^)-ի մոնոգենությունը և անալիտիկությունը նայնն են։ Նշանակելով z==X"Hy» W= =f(z)=u(x;, y)+iv(x,y), ապացուցվում Է, որ fW-ի անալիտիկության համար անհրաժեշտ է U բավարար, որ u(x»y) և v(x․ у) իրական ֆունկցիաները բավարա– րեն Կոշիի–Ռիմանի պայմաններին՝ ա г․ •tг u*=vy, v=- V*։ (2) Այս պայմանները նշանակում են նաև, որ и(*,у)-Ц ն у(х;,у)-ц համալուծ հարմոնիկ ֆունկցիաներ են։ Շատ ՓոՓոխականնե– րի ֆունկցիայի համար տեղի ունի (2)-ին հանգույն պայման ըստ բոլոր ՓոՓոխա– կանների։ Կոշին զարգացրել է նաև կոմպ– լեքս ՓոՓոխականի ֆունկցիայի ինտե– գրալի տեսությունը և ապացուցել կոմպ– լեքս ՓոՓոխականի Ֆ․ տ–յան մի քանի հիմնական թեորեմներ։ Բ․ Ռիմանը կոմպլեքս ՓոՓոխականի Ֆ․ տ․ մշակել է երկրաչափական մեկնա– բանությամբ, ստեղծելով կոնֆորմ ար– տապատկերումների տեսությունը, որը լայն կիրառումներ ունի մաթեմատիկա– յում, ֆիզիկայում, մեխանիկայում։ Կոմպլեքս ՓոՓոխականի Ֆ․ տ–յան հե– տագա զարգացումն ընթացել և ընթանում է անալիտիկ ֆունկցիաների տեսության դասական խնդիրների և․ մեթոդների խո– րացման ու լայնացման, ինչպես նաև նոր, ավելի նուրբ խնդիրների ու հարցերի առաջադրման և նոր տեսությունների ստեղծման ուղղությամբ։ Իրական U կոմպլեքս ՓոՓոխականի Ֆ․ տ–յան ստեղծման ու զարգացման գոր– ծում մեծ վաստակ ունեն նաև Լ․ Էյլերը, ժ․ Ֆուրիեն, ժ․ Ստիլտիեսը, Դ․ Բեռնու– լին, ժ, Լագրանժը, է․ Բորելը, Ա․Պուան– կարեն, Ա․ Լեբեգը, ժ․ Հադամարը, Ռ․ Նեվանլինան, Զ․ Ջեկսոնը, Ա․ Դան– ժուան, Տ․ Կառլեմանը, ռուս և սովետա– կան մաթեմատիկոսներ Պ․ Լ․ Չեբիշևը, Դ․ Ֆ, Եգորովը, Ա․ Ն․ Բեռնշտեյնը, Ն․ Ն․ Լուզինը, Ի․ Ի․ Պրիվալովը, Պ․ Ա․ Ալեք– սանդրովդ Ա․ Ն․ Կոլմոգորովը, Վ․ Ի․ Սմիռնովը, Դ․ Ե․ Մենշովը, Մ․ Ա․ Լավ– րենտևը, Մ․ Վ․ Կելդիշը, Ն․ Ն․ Բոգոլյու– բովը ևն։ Հ ա յ ա ս տ ա ն ու մ Ֆ․ տ–յան բնա– գավառում գիտական աշխատանքներն սկսվել են 1930-ական թվականների վեր– ջերից։ Հետագա տարիներին հետազոտու– թյունների ոլորտն արագ ընդարձակվել է՝ ընդգրկելով կոմպլեքս և իրական փոփո– խականի Ֆ․ տ–յան մի շարք նոր ուղղու– թյուններ։ Ստացվել են հիմնարար արդ– յունքներ, որոնք արժեքավոհ ներդրում– ներ են ժամանակակից Ֆ․ ա–ում և համ– ընդհանուր ճանաչում են բե^ել Ֆ․ ա–յան հայկական գիտական դպրոցին։ Դրա– նում առանձնապես մեծ վաստակ ունեն մաթեմատիկոսներ Ա․ Լ․ Շահինյանը, Ս․ Ս․ Ջրբաշյանը, Ս․ Ն․ Մերգեչյանը, Ա․ Ա․ ԹաչաԱանը, Ն․ Հ․ ԱռսՀքկյանը ևն։ Գրկ․ Александров П* С․, Введе– ние в общую теорию мнолсеств и функций, М․– Л․, 1948; Лузин Н․ Н․, Теория функций действительного переменного, Об– щая часть, 2 изд․․ М․, 1948; Джрбашян М․ М․, Интегральные преобразования и пред– ставления функций в комплексной области, М․, 1966; Лаврентьев М․ А․, Ша– бат Б․ В․, Методы теории функций ком– плексного переменного, 4 изд), М․, 1973; Привалов И․ И․, Введение в теорию функций комплексного переменного, 12 изд․, М․, 1977․ Վ․ Սtաղա թե и ան․
ՖՈՒՆԿՑԻՈՆԱԼ, մաթեմատիկական հաս– կացություն, որը սկզբնապես ծագել է վարիացիոն հաշվում և ունեցել մեկ կամ մի քանի ֆունկցիաներից կախված փո– Փոխականի իմաստ։ Ֆունկցիոնաչ անա– ւիզի զարգացմանը զուգընթա^ «Ֆ> տեր մինը սկսել է հասկացվել ավելի լայն իմաստով՝ որպես որևէ գծային տարա– ծության վրա որոշված թվային ֆունկցիա։
ՖՈՒՆԿՑԻՈՆԱԼ ԱՆԱԼԻձ, արդի մաթե– մատիկայի բաժին, որն ուսումնասիրում է անվերջ չափանի տարածություններն ու նրանց արտապատկերումները։ Ֆ․ ա–ում հանրահաշվի, տոպոլոգիայի և դասա– կան մաթ․ անալիզի դասավարների ու մեթոդների հիման վրա կառուցվում են աքսիոմատիկորեն սահմանված վերացա– կան օբյեկտների տեսություններ, որոնք մի կողմից պարունակում են դասական խնդիրները որպես մասնավոր դեպքեր և մյուս կողմից նշում մեթոդներ՝ նոր, ավելի բարդ խնդիրների լուծման համար։ Ֆ․ ա–ի վերացական մեթոդները թույլ են տալիս առանձնացնել, հստակեցնել ուսումնասիրվող օբյեկտները․, նրանց հատկությունները, Փոխադարձ կապը, դեն նետել կոնկրետությունը պայմանա– վորող ավելորդությունները, դոանով իսկ ընձեռել էապես ավելի խոր ուսումնասի– րության և նոր օրինաչափությունների հայտնաբերման հնարավորություններ։ Վերացական ֆունկցիոնալ տարածու– թյուններ։ Ֆ․ ա–ում ուսումնասիրվող ամե– նաընդհանուր տարածություններն են գծային տոպոլոգիական տարածություն– ները (ԴՏՏ), այսինքն՝ գծային տարա– ծություններ (իրական կամ կոմպլեքս (П դաշտի նկատմամբ), որոնք օժտված են այնպիսի տոպոլոգիայով, որի նկատ– մամբ գծային օպերատորներն անընդհատ են։ ԴՏՏ–ի մասնավոր, բայց շատ կարևոր ու հաճախ հանդիպող դեպք է X գծային նորմավորված տարածությունը (ԴՆՏ), որում յուրաքանչյուր хбХ-ի համար սահ– մանված է ոչ բացասական || х|| թիվ (կոչ– վում է x-ի նորմ) այնպես, որ l||x||=0<i^ <=>x=0, ||Xx|| = |X| ||*||, երբ ked, |(x+
