d a(x)<p՝(x)+ b(x)<p(x) + J k(x t)<p(t)dt=f(x) c հավասարումը, որաեղ a(x), b(x), f(x) U k(x,t) ֆունկցիաները արված են և անընդհատ, իսկ <p(xHl որոնելի ֆունկ– ցիա է: Որոշ պայմանների դեպքում Ի–դ. հ. կարելի է լուծել հաջորդական մոտավորու– թյունների եղանակով, իսկ երբեմն էլ նրա լուծումը բերել ինտեգրաչ հավասար– ման կամ ղիֆերենցիաչ հավասարման լուծման: Ի–դ. հ. ունեն լայն և կարևոր կիրառություններ բնագիտության ամե– նատարբեր բնագավառներում:
ԻՆՏԵԳՐԱԼ (< լատ. integer – ամբողջա– կան, վերականգնված), մաթեմատիկայի կարևորագույն հասկացություններից, ծա– գել է մի կողմից՝ ֆունկցիան իր ածանցյա– լից վերականգնելու, մյուս կողմից՝ մակե– րես, ծավալ, աղեղի երկարություն, որո– շակի ժամանակամիջոցում ուժի կատարած աշխատանք և նման այլ մեծություններ չափելու անհրաժեշտությունից: Ըստ այդմ զանազանում են անորոշ և որոշյալ Ի–ներ: Ավելի մանրամասն՝ տես Ինւռեգրաւ հա– շիվ:
ԻՆՏԵԳՐԱԼ ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ, ժամա– նակակից երկրաչափության ճյուղ, անմի– ջականորեն կապված է երկրաչափական հավանականությունների տեսության հետ: Ուսումնասիրում է երկրաչափական տար– րերի բազմություններում (ուղիղներ հար– թության վրա, ուղիղներ և հարթություններ տարածության մեջ ևն) չափեր մտցնելու եղանակները (տես Չափ բ ա զ մ ու– թ յ ա ն), ինչպես նաև այդ չափերով ին– տեգրալների հատկությունները: Ի. ե–յան զարգացման համար խթան են եղել երկրա– չափական հավանականությունների վե– րաբերյաւ խնդիրները, որոնցից առաջինն ու ամենահայտնին է Բյուֆոնի խնդիրը (1777), այն է՝ միմյանցից հ հեռավորու– թյան վրա գտնվող զուգահեռ ուղիղներով ծածկված հարթության վրա նետվում է /<հ երկարության ասեղ, որքան է հավա– նականությունն այն բանի, որ ասեղը կհատի ուղիղներից մեկը: Ի. ե–յան բնա– գավառում ներդրում ունեն 0. Կոշին, Ջ. Աիլվեստրը, Մ. Քրոֆտոնը և ուրիշներ: Ի. ե. տերմինը 1936-ին առաջարկել է գեր– մանացի երկրաչափ Վ. Բլյաշկեն, որը Ի. ե–յան գլխավոր նպատակն էր համարում երկրաչափական (այդ թվում իզոպերի– մետրական) անհավասարությունների ար– տածումը: Ռ. <,ամբա–դձուէ[յան
ԻՆՏԵԳՐԱԼ ՀԱՇԻՎ, մաթեմատիկայի բա– ժին, որն ուսումնասիրում է ինտեգրալ– ների հատկությունները, դրանց հաշվման եղանակները և կիրառությունները: Ի. հ. սերտ կապված է դիֆերենցիաւ հաշվի հետ և միասին կազմում են մաթեմատիկական անափզի հիմնական մասերից մեկը: Դի– ֆերենցիալ հաշվի և Ի. հ–ի զարգացման ու հիմնավորման ընթացքում են ծնվել արդի մաթեմատիկայի մի շարք կարևոր հասկացություններ (իրական թիվ, ֆունկ– ցիա, սահման, անընդհատություն) և ուղ– ղություններ (վարիացիոն հաշիվ, դիֆե– րենցիալ հավասարումների տեսություն, դիֆերենցիալ երկրաչափություն), որոնց շնորհիվ մաթ. անալիզը ավելի հիմնավոր է մուտք գործել բնագիտության և տեխնի– կայի զանազան բնագավառներ: Ի. հ–ի կենտրոնական հասկացություններն են որոշյալ և անորոշ ինտեգրալները: Որոշյալ ինտեգրալ: Դիցուք, f(x) ֆունկցիան որոշված է [a, b] հատվածի վրա: Վերջինիս ցանկացած a= = x0<xi< • • • <tfn=b տրոհման դեպքում կազմվում են Դարբուի վերին (Տ) և ստո– րին (Տ) գումարները՝ S=Mi(xi–Xo)+ + M2 (x2–xi)+ • • • + Mn(xn–xn_i), S = = mi(xi–x0)+m2(x2–xi) + ■ • • +mn(xn – –xn i)» որտեղ Mi, mi-երը համապատաս– խանաբար f(x)-h ճշգրիտ վերին և ստո– րին եզրերն են [Xi_i, Xj] հատվածի վրա: Եթե Տ–երի ճշգրիտ ստորին եզրը համընկ– նում է Տ–երի ճշգրիտ վերին եզրի հետ, ապա ասում են, որ f(x) ֆունկցիան ին– տեգրելի է [a, ե]-ի վրա (Ռիմանի իմաս– տով), իսկ այդ ընդհանուր արժեքը անվա– նում f(x)-ji Ռիմանի ինտեգրալ [a, ե]-ի վրա b b և նշանակում՝ jf(x)dx: Որպեսզի j f(x)dx a a ինտեգրալը գոյություն ունենա (այլ կերպ1 որպեսզի f-ը [a, հ]-ի վրա լինի ինտեգրելի Ռիմանի իմաստով), անհրաժեշտ է և բա– վարար, որ f(x)^ [a, ե]-ի վրա լինի սահ– մանափակ և նրա խզման կետերի բազմու– թյունը ունենա զրո չափ (տես Չափ բազ– մության): Կան սահմանափակ ֆունկ– ցիաներ, որոնք ինտեգրելի չեն Ռիմանի իմաստով: Օրինակ, Դիրիխլեի ֆունկ– ցիան՝ D(x)^ [0,1] հատվածում սահ– մանափակ է (հավասար է 0, եթե x-ը ռա– ցիոնալ է և 1, եթե x-ը իռացիոնալ է), բայց, ըստ Ռիմանի, ինտեգրելի չէ: Բազմապա– տիկ ինտեգրալները սահմանվում են հան– գունորեն, ընդ որում ինտեգրելիության հայտանիշը պահպանվում է: Որոշյալ ին– տեգրալի կարևոր հատկություններից են. b b 1) |jf(x)dx|^j|f(x)Jdx, 2) ինտեգրելի a a ֆունկցիաների գումարը, տարբերությու– նը, արտադրյալը նույնպես ինտեգրելի b են, 3) եթե a<b<c, ապա Jf(x)dx+ a c c -f jf(x)dx= jf(x)dx: Որոշյալ ինտեգրա– b a լըն ունի զանազան ընդհանրացումներ, օրինակ, անիսկական, առաջին սեռի կո– րագիծ, մակերևութային ինտեգրալներ ևն: Անիսկական ինտեգրալ: Դիցուք, f(x)^ ինտեգրելի է ցանկացած [a,N] հատ– N վածի վրա: lim J f(x)dx սահմանը (եթե N–>ooa գոյություն ունի) կոչվում է f(x)–h անիսկական ինտեգրալ և նշանակվում՝ օօ jf(x)dx: կանգունորեն սահմանվում են a b օօ jf(x)dxs, j f(x)dx ինտեգրալները: –օօ –օօ Եթե fM-ը ինտեգրելի է ցանկացած [a+ H-e, b], 0<8<b–a հատվածի վրա և գո– b յություն ունի lim J f(x)dx սահմանը, £–>0 a+e ապա այն անվանում են f(x)–h անիսկա– կան ինտեգրալ [a, bj-ի վրա և նշանակում՝ b Jf(x)dx: Ռիմանի ինտեգրալի խոր և շատ a բեղմնավոր ընդհանրացումն է Լերեգի ինաեգրաչը: Անորոշ ինտեգրալ: F(x)^ կոչվում է f(x)-h (a^x^b) նախնական ֆունկցիա, եթե [a, հ]-ի վրա ամենուրեք F՝(x)= =f(x): F(x)+c ֆունկցիաները, որտեղ c-ն կամայական հաստատուն է, նույնպես f(x)-h նախնականներն են, որոնց համա– խմբությունն էլ կոչվում է f(x)–h անորոշ ինտեգրալ և նշանակվում jf(x)dx: Առա– ջին սեռի խզում (թռիչք) ունեցող f(x) ֆունկցիան չի կարող ունենալ նախնական, իսկ եթե f(xHl անընդհատ է [a, ե]-ի վրա, ապա նրա նախնականները կարելի է գըտ– x նել F(x)= J f(t)dt+ F(a) բանաձևով: Ան– a որոշ և որոշյալ ինտեգրալները կապող x F(x)–F(a)= J F՝(t)dt բանաձևը կոչվում է a Ի. հ–ի հիմնական, կամ Լ ա յ բ– ն ի ց–Ն յ ու տոնի բանաձև: Այն ընձեռեց որոշյալ ինտեգրալ հաշվելու լայն հնարավորություններ: Անորոշ ին– տեգրալ հաշվելու համար մշակված են բազմաթիվ մեթոդներ, կազմված են աղ– յուսակներ: Պատմական տեղեկություններ: Ի. հ–ի ծագումը (սաղմնային վիճակով) պայմա– նավորված է եղել մակերեսներ և ծավալներ հաշվելու անհրաժեշտությամբ: Դեռևս Հին Հունաստանում մաթեմատիկոսները գիտեին լուծել այդ բնույթի որոշ խնդիր– ներ: Օգտագործվող հիմնական մեթոդը Եվղոքսի «սպառման մեթ՜ոդն» էր: Տիրա– պեւոելով այդ մեթոդին՝ Արքիմեդը լու– ծել է մի շարք խնդիրներ, սակայն չկարո– ղանալով վերանալ մասնավորից, չի տվել ընդհանրականի՝ ինտեգրալի գաղափարը և առավել ևս հաշվման այևպիսի եղանակ– ներ, որոնք պիտանի լինեն լայն դասի խնդիրների համար: IX–XV դդ. Միջին և Մերձավոր Արևելքի գիտնականներն Ար– քիմեդի աշխատանքներն ուսումնասիրել և թարգմանել են, բայց Ի. հ–ի վերաբերյալ ոչ մի էապես նոր արղյունք չեն ստացել: Այդ ժամանակաշրջանի Եվրոպայի գիտնա– կանների գործունեությունն առավել ևս համեստ է եղել: Այս բնագավառում լուրջ քայլ արվեց միայն XVI –XVII դդ., երբ զարգացող բնագիտությունն ու հատկա– պես մեխանիկան մաթեմատիկային առա– ջադրեցին հրատապ խնդիրներ, որոնք հիմնականում հանգում էին մակերես, ծա– վալ կամ ծանրության կենտրոնի դիրք գտևելուն: Մի շարք մաթեմատիկոսների (Ցո. Կեպլեր, Բ. Կավալիերի, է. Տորի– չելի, Ջ. Վալիս, P. Պասկալ, Պ. Ֆերմա,
