Էջ:Հայկական Սովետական Հանրագիտարան (Soviet Armenian Encyclopedia) 1.djvu/439

ԱՆՎԵՐՋ ՄԵԾ, տես Անվերջություն (մաթեմատիկայում)։

ԱՆՎԵՐՋ ՓՈՔՐ, տես Անվերջություն (մաթեմատիկայում)։

ԱՆՎԵՐՋՈՒԹՅՈՒՆ փիլիսոփայության մեջ, մատերիայի, նրա շարժման ու զարգացման, ժամանակի ու տարածության անսահմանափակությունն ու նրանց ճանաչման անսպառելիությունը բնութագրող հասկացություն։ Դասական կոսմոլոգիայում աշխարհի Ա. ըմբռնվել է որպես մատերիայի, տարածության ու ժամանակի միասեռ, միօրինակ մասերի անսահմանափակ գումար, ուստի, որպես վերջավորների պարզ համադրություն, հնարավոր է համարվել աշխարհի վերջավոր մասի օրինաչափությունները անվերջի վրա տարածելը։ Այս պատկերացման անհետևողականությունը բացահայտվեց կոսմոլոգիական պարադոքսների շնորհիվ, և այն հաղթահարվեց նորագույն ֆիզիկայում։ Պարզվեց, որ միկրոաշխարհում մատերիայի բաժանման Ա. պետք է դիտվի որպես նրա անվերջ փոխակերպումների հնարավորություն։ Հարաբերականության տեսությունը, կապ հաստատելով տարածա–ժամանակի կառուցվածքի և մատերիայի բաշխման օրինաչափությունների միջև, սահմանազատում է մտցնում Ա–յան և անսահմանափակաթյան միջև՝ առաջինը վերագրելով տարածա–ժամանակի ներքին կառուցվածքին, երկրորդը՝ նրա չափելիությանը։ Այս հիմքի վրա ստեղծված տիեզերքի տարբեր մոդելները պետք է դիտել ոչ թե նրա վերջավորության ապացույց, այլ տարածա–ժամանակի կառուցվածքի արտահայտման միջոցներ։

Իմացաբանական առումով Ա. աշխարհի ճանաչման պրոցեսի Ա․ է։ Մարդկային պրակտիկ գործունեությունն ընթանում է վերջավոր տիրույթում, սակայն իմացությունը, որքանով այն հավակնում է համընդհանուր և անհրաժեշտ լինելու, պարունակում է անվերջի տարր, ուստի այն անվերջի իմացություն է։ Մետաֆիզիկական տեսակետից Ա. ըմբռնվում է որպես «հոռի Ա.», որպես միատարր վերջավորների հանրագումար, նրանց պարզ կրկնություն։ Ուստի անհնարին է լինում բացատրել իմացության անցումը վերջավորից անվերջին, զգայականից տրամաբանականին, փաստականից տեսականին։ Դիալեկտիկական ըմբռնմամբ, թեև ամեն մի փաստական գիտելիք իր բովանդակությամբ վերաբերում է վերջավորին, կոնկրետին, սակայն իր ձևով, որպես գիտելիք ընդհանրապես, որպես ընդհանուր աշխարհըմբռնման մի մաս, օժտված է համընդհանուր և անհրաժեշտ բնույթով, ուստի և գիտելիք է անվերջի մասին։ Հետևաբար իմացությունը վերջավորի և անվերջի դիալեկտիկական հակասության հաղթահարման պատմական պրոցես է։

Տես նաև Ակտուալ անվերջության վերացարկում։ Ս. Ավետիսյան

ԱՆՎԵՐՋՈՒԹՅՈՒՆ մաթեմատիկայում, մաթեմատիկայի հիմնական գաղափարներից մեկը, կոնկրետացվում է «անվերջ փոքր մեծության», «անվերջ հեռու կետ», «անվերջ կարդինալ թիվ» և այլ հասկացություններում, որոնք հիմնվում են կա՛մ ակտուալ անվերջություն, կա՛մ պոտենցիալ անվերջություն գաղափարների վրա։ «Ակտուալ անվերջ» մաթ. օբյեկտը այս կամ այն իմաստով ընդգրկում է կամ գերազանցում նման տիպի բոլոր վերջավոր օբյեկտները (օր. անվերջ կարդինալ թվերը մեծ են բոլոր վերջավոր թվերից)։ «Պոտենցիալ անվերջ»–ը մենք պատկերացնում ենք կառուցման (առաջացման) պրոցեսով, որի ընթացքում ստեղծվող օբյեկտները կարող են ընդգրկել կամ գերազանցել նման տիպի ցանկացած վերջավոր սևեռված օբյեկտ (օրինակ, անվերջ աճող թվային հաջորդականության անդամները կարող են գերազանցել ցանկացած սևեռված թիվ)։ Մաթեմատիկական անալիզում Ա. հանդես է գալիս անվերջ մեծ և անվերջ փոքր մեծությունների գաղափարներում, որոնք, որպես որոշակի տիպի հաջորդականություններ կամ ֆունկցիաներ, դիտարկվում են պոտենցիալ անվերջության շրջանակում, օր. իրական թվերի $a_{1},\;a_{2},\dots ,\;a_{n},\;\dots$ հաջորդականությունը կոչվում է անվերջ նվազող կամ անվերջ փոքր (և համապատասխանաբար՝ անվերջ աճող կամ անվերջ մեծ), եթե կամայապես փոքր (համապատասխանաբար՝ կամայապես մեծ) դրական $b$ թվի համար կարելի է նշել հաջորդականության այնպիսի $a_{n}$ անդամ, որից սկսած բոլոր $a_{n+1},\;a_{n+2},\;\dots$անդամները իրենց բացարձակ արժեքով ավելի փոքր են (համապատասխանաբար ավելի մեծ են) $b$–ից, օր. $1,\;{\frac {1}{2}},\;{\frac {1}{4}},\;{\frac {1}{8}},{\frac {1}{16}},\dots$ հաջորդականությունն անվերջ նվազող է (կամ՝ անվերջ փոքր), իսկ $1,\;1,\;1/2,\;1,\;1/4,\;1,\;1/8,\;1,\dots$ հաջորդականությունը՝ ոչ։

Անվերջ մեծ մեծություններից պետք է տարբերել «անիսկական» անվերջ թվերը՝ $\infty \;+\infty \;-\infty$, որոնք երբեմն ձևական պատճառներից ելնելով, մուծվում են մաթեմատիկայի որոշ բաժիններ։ Անվերջ մեծ և «անիսկական» անվերջ թվերի տարբերությունը երևան է գալիս հետևյալ դեպքում. $(+\infty )-(+\infty ),\;(-\infty )+(-\infty )$ կամ $\infty +\infty$ արտահայտությունները համարվում են անիմաստ, մինչդեռ երկու անվերջ մեծ մեծությունների գումարը կամ տարբերությունը (նրանք կարող են լինել կամ չլինել անվերջ մեծ մեծություններ) միշտ իմաստ ունի. օր. $10,\;16,\;20,\;26,\;30,\dots$ և $10,\;15,\;20,\;25,\;30,\dots$ անվերջ մեծ հաջորդականությունների տարբերությունը $0,\;1,\;0,\;1,\;0,\;1,\dots$ հաջորդականությունն է, որն անվերջ մեծ չէ, իսկ $10,\;15,\;20,\;25,\;30,\dots$ և $10,\;14,\;18,\;22,\;26,\dots$ անվերջ մեծ հաջորդականությունների տարբերությունն անվերջ մեծ է։ Պրոյեկտիվ երկրաչափության մեջ, ելնելով ձևական նկատառումներից, տրվում են անվերջ հեռու կետի և անվերջ հեռու ուղղի գաղափարները։ Անվերջ հեռու կետը ձևականորեն սահմանվում Է որպես ինչ–որ սևեռված ուղղին զուգահեռ բոլոր ուղիղների համախմբություն, ընդ որում, ընդունվում է, որ այդ կետը պատկանում է նշված համախմբության բոլոր ուղիղներին։ Անվերջ հեռու կետը սահմանելուց հետո կարող ենք ասել, որ ցանկացած երկու չհամընկնող ուղիղներ ունեն ճիշտ մեկ հատման կետ՝ սովորական կամ անվերջ հեռու։

Անվերջ հեռու ուղիղը սահմանվում է որպես բոլոր անվերջ հեռու կետերի համախմբություն։ Այս գաղափարը մտցնելուց հետո կարող ենք ասել, որ ցանկացած երկու կետով (սովորական կամ անվերջ հեռու) անցնում է ճիշտ մի ուղիղ (սովորական կամ անվերջ հեռու)։ Անվերջ հեռու կետերից, նշված իմաստով, պետք է տարբերել «անվերջ հեռու կետը», որպես «անիսկական» կոմպլեքս թիվ, որը մտցվում է կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների տեսության մեջ։ Տարբերությունն այն է, որ անվերջ հեռու կետը, որպես «անիսկական» կետ, միակն է կոմպլեքս հարթության վրա և միաժամանակ պատկանում է այդ հարթությանը պատկանող բոլոր ուղիղներին։ Նշված հասկացությունները մտցվում են՝ ակտուալ անվերջության գաղափարից ելնելով, բայց փաստորեն ձևական դեր են խաղում մաթ. տեսություններն ավելի միօրինակ դարձնելու և բացառիկ դեպքերի քննարկումից խուսափելու համար։ Բազմությունների տեսությունում ակտուալ անվերջության գաղափարն օգտագործվում է որպես հիմնական սկզբունք։ Թայլատրվամ են դիտարկել, օր. ոչ միայն «բոլոր իրական թվերի բազմությունը», այլև «իրական թվերի բոլոր հնարավոր բազմությունների բազմությունը», ընդ որում, իրական թվերի բազմություններն այստեղ դիտարկվում են անկախ նրանց կառուցման և տրման հնարավորություններից։ Այդ տեսակետից մտցվում են բազմությունների տեսության հիմնական գաղափարները, օր. կարդինալ թիվ կամ հզորություն և կարգաթիվ, որոնք հնարավորություն են տալիս կազմել անվերջ բազմությունների որոշ դասակարգումներ։ Այսպես, բոլոր իրական թվերի բազմության հզորությունն ավելի մեծ է, քան բոլոր բնական թվերի բազմության հզորությունը։ Այս փաստը բազմությունների տեսության մեջ մեկնաբանվում է այնպես, որ իրական թվերը, կոպիտ ասած, «ավելի բազմաթիվ են» կամ կազմում են «ավելի զորեղ անվերջություն», քան բնական թվերը։ Այս մեկնաբանումը ժամանակակից մաթեմատիկայում երբեմն համարվում է կասկածելի, որոշ տեսակետից ավելի բնական է պատկերացնել մեծ հզորություն ունեցող բազմությունները ոչ թե որպես «ավելի բազմաթիվ», այլ որպես ավելի բարդ կառուցվածք ունեցող, քան համեմատաբար փոքր հզորությամբ բազմությունները։

Ակտուալ անվերջության նմանօրինակ օգտագործումը առաջացրեց բազմությունների տեսության պարադոքսներ (տես Պարադոքս)։ Պարզվեց, որ «բոլոր բազմությունների բազմություն» գաղափարը հակասական է։ Այդպիսի հասկացությունների և մաթեմատիկայի հիմունքներում նրանց հետ կապված դժվարությունների հաղթահարման համար ժամանակակից մաթեմատիկայում ակտուալ անվերջության օգտագործման վրա դրվում են որոշ սահմանափակումներ (տես Ինտուիցիոնիզմ, Լոգիցիզմ, Ֆորմալիզմ)։ Ի. Զասլավսկի

ԱՆՎՃԱՐՈՒՆԱԿՈՒԹՅՈՒՆ, ձեռնարկության, հիմնարկության կամ կազմակերպության ֆինանսա-տնտեսական գործունեության մեջ ստեղծված վիճակ, որը չի